Родился 3 октября 1921 года в городе Ижевске в семье рабочего. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года. Окончил неполную среднюю школу в 1939 году. В Красной Армии с 1940 года. В 1942 году окончил Балашовскую военную авиационную школу пилотов.

На фронтах Великой Отечественной войны с февраля 1943 года. Воевал на Ленинградском и 3-м Белорусском фронтах, был лётчиком, старшим лётчиком, командиром звена, заместителем командира и командиром эскадрильи 15-го гвардейского штурмового авиационного полка.

К октябрю 1944 года командир звена 15-го гвардейского штурмового авиаполка (277-я штурмовая авиадивизия, 13-я воздушная армия, Ленинградский фронт) гвардии лейтенант Е. М. Кунгурцев совершил 176 боевых вылетов, сбил лично 1 и в группе 6 самолётов противника.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 февраля 1945 года за боевые подвиги и проявленные мужество и отвагу гвардии лейтенанту Кунгурцеву Евгению Максимовичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда»

К середине февраля 1945 года командир эскадрильи 15-го гвардейского штурмового авиаполка (1-я воздушная армия, 3-й Белорусский фронт) гвардии старший лейтенант Кунгурцев Е. М. совершил 210 боевых вылетов на разведку и штурмовку, опорных пунктов, аэродромов, скоплений войск и техники противника, нанеся ему значительный урон; в воздушном бою сбил вражеский самолёт. В марте 1945 года, будучи тяжело раненым, Е. М. Кунгурцев попал в плен, бежал и вернулся в свою часть.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 апреля 1945 года за новые боевые подвиги гвардии старший лейтенант Кунгурцев Евгений Максимович награждён второй медалью «Золотая Звезда».

После войны — инспектор-лётчик авиационного соединения, командир авиаполка и дивизии. В 1952 году полковник Кунгурцев Е. М. окончил Военно-воздушную академию, а в 1957 году — Военную академию Генерального штаба.

С 1968 года Е. М. Кунгурцев — в запасе, а затем — в отставке. Жил в городе Бердянске, где и скончался 11 мая 2000 года.